Costruito dal conte Giovanni Cobenzl nel 1587, il palazzo, che nel Settecento lo storico Carlo Morelli definì “la più bella casa che vi fosse in que’ tempi nella nostra città”, passò in seguito alla nobile famiglia goriziana dei Codelli, i quali provvidero ad ampliarlo, e nel 1749 lo donarono all’erario affinché divenisse sede dell’Arcivescovo, che vi si stabilì nel 1751.

All'interno del complesso di palazzo Cobenzl, ma accessibile direttamente da via Arcivescovado, si trova la Cappella dell'Esaltazione della Croce, edificata nel 1746 per volontà di Agostino Codelli, barone di Fahnenfeld, come ricorda la lapide posta sul pavimento. La principale particolarità di questo edificio sta nella pianta ovale e nella copertura a volta. Fra gli arredi spicca l'altare marmoreo in stile rococò (attribuito al Mazzoleni) con il tabernacolo in marmo bianco e la mensa sostenuta da due statue con angeli. Del patrimonio storico-artistico della Curia Arcivescovile sono da ricordare le opere pittoriche dei secoli XVII e XVIII, i ritratti della famiglia Strassoldo e il ricco archivio cartaceo.